Műveletek több qubiten

Ez a cikk áttekinti a több qubites állapotok egy qubitből történő létrehozására használt szabályokat, és ismerteti azokat a kapuműveleteket, amelyek egy univerzális több qubites kvantumszámítógép létrehozásához szükséges kapukészletbe való belefoglaláshoz szükségesek. Ezek az eszközök szükségesek a kódban gyakran használt kapukészletek megértéséhez Q# . Fontos továbbá, hogy megérzéseket szerezzenek arról, hogy miért teszik a kvantum-számítástechnikát a kvantumeffektusok, például az összefonódás vagy az interferencia nagyobb teljesítményűsé, mint a klasszikus számítástechnika.

Egy qubites és több qubites kapuk

A kvantum-számítástechnika valódi ereje csak akkor válik nyilvánvalóvá, ha növeli a qubitek számát. Az önálló qubitek rendelkeznek néhány ellentétes intuitív funkcióval, például azzal a képességgel, hogy egy adott időpontban több állapotban legyenek. Ha azonban csak egy kvantumszámítógépen volt egy qubites kapu, akkor egy számológép és minden bizonnyal egy klasszikus szuperszámítógép eltörpül a számítási teljesítményével.

A kvantum-számítási teljesítmény részben azért merül fel, mert a kvantumállapot-vektorok vektorterének dimenziója exponenciálisan nő a qubitek számával. Ez azt jelenti, hogy míg egyetlen qubit triviálisan modellezhető, az ötven qubites kvantumszámítás szimulálása vitathatatlanul a meglévő szuperszámítógépek korlátait feszegeti. A számítások méretének csak egy további qubitel való növelése megduplázza az állapot tárolásához szükséges memóriát, és nagyjából megduplázza a számítási időt. A számítási teljesítmény e gyors megduplázása az oka annak, hogy egy viszonylag kis számú qubittel rendelkező kvantumszámítógép messze meghaladhatja a mai, holnapi és azon túli legerősebb szuperszámítógépeket néhány számítási feladatnál.

Két qubites állapot

Ha két különálló qubit van, az egyik az államban$\psi=\begin{bmatrix}\\\end{bmatrix}$\beta\alpha, a másik pedig az államban$\phi=\begin{bmatrix}\delta\\\end{bmatrix}$\gamma, akkor a megfelelő két qubit-állapotot a vektorok tensor-szorzata (vagy Kronecker-terméke) adja meg, amely az alábbiak szerint van definiálva

$$\psi\otimes\phi=\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix}\gamma\\\delta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha\begin{bmatrix}\gamma\\\delta\end{bmatrix}\\\beta\begin{bmatrix}\gamma\\\delta\end{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha\gamma\\\alpha\delta\\\beta\gamma\\\beta\delta\end{bmatrix}. $$

Ezért a két egy qubites állapot $\psi$ és $\phi$a 2. dimenzió mindegyikében a megfelelő két qubites állapot $\psi\otimes\phi$ 4 dimenziós. A vektor

$$\begin{bmatrix}\alpha_{{00}\alpha\\_{\\\alpha{01}__{{10}\\\alpha{{11}\end{bmatrix}$$

két qubit kvantumállapotát jelöli, ha

$$|\alpha_{00}|^2+|\alpha_{01}|^2+|\alpha_{{10}|^2+|\alpha_{{11}|^2=1.$$

Általánosabban látható, hogy az n qubitek kvantumállapotát $egy egységvektor $képviseli, v_1 \otimes v_2\otimes \otimes\cdots2 \cdot 2 \cdot 2 2\cdots=^n$ dimenzió $v_n$ ezzel az konstrukcióval.$ Az önálló qubitekhez hasonlóan a több qubit kvantumállapot-vektora is tartalmazza a rendszer viselkedésének leírásához szükséges összes információt. A vektorokról és a tenzortermékekről további információt a Quantum Computing vektorai és mátrixai című témakörben talál.

A két qubites állapotok számítási alapját az egy qubitalapú állapotok tenzoros termékei alkotják. Például rendelkezik

$$\begin{\begin{align}00 \equiv\begin{bmatrix}1 \\ 0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes 1 \\ 0 \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}1 0 0 0, 01\begin{bmatrix}\equiv 1 \\ 0 0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes\\ 1=\begin{bmatrix}\end{bmatrix} 0 \\ 1\\ 0\\ 0\end{bmatrix},\\ 10 \equiv\begin{bmatrix}0 \\ 1\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes 1 \\ 0 \end{bmatrix}&\begin{bmatrix}=\qquad \end{bmatrix}\\\\ \\0 0 1 0 , 11\begin{bmatrix}\equiv 0 \\ 1\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes 0 \\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}=0 \\ 0\\ 0\\ 1 .\end{bmatrix}\qquad \end{bmatrix}\\\\ \\ \end{align} $$

Vegye figyelembe, hogy bár a két egy qubites állapot tenzorterméke mindig két qubites állapotot alkot, nem minden két qubites kvantumállapot írható két egy qubites állapot tenzortermékeként. Nincsenek például állapotok$\psi=\begin{bmatrix}\alpha\end{bmatrix}$\\\beta, és\gamma$\phi=\begin{bmatrix}\\\delta\end{bmatrix}$ a tenzor terméke az állam

$$\psi\otimes\phi=\begin{bmatrix}1/\sqrt{{2}\\ 0 \\ 0 \\ 1/.\sqrt{{2}\end{bmatrix}$$

Az ilyen két qubites állapotot, amely nem írható az egy qubites állapotok tensor-szorzataként, hányadosnak &nevezzük; összefonódott állapot&;; a két qubit állítólag össze van fonva. Lazán szólva, mivel a kvantumállapot nem tekinthető egyetlen qubitállapot tenzor-szorzatának, az állapot által tárolt információk nem korlátozódnak egyenként a qubitek egyikére sem. Ehelyett a rendszer nem helyben tárolja az információkat a két állapot közötti korrelációban. Ez a nem helyhez kötött információ a kvantum-számítástechnika egyik fő megkülönböztető jellemzője a klasszikus számítástechnikával szemben, és számos kvantumprotokoll, köztük a kvantumhibák javítása szempontjából nélkülözhetetlen.

Két qubites állapot mérése

A két qubites állapotok mérése nagyon hasonlít az egy qubites mérésekhez. Az állapot mérése

$$\begin{bmatrix}\alpha_{{00}\alpha\\_{\\\alpha{01}__{{10}\\\alpha{{11}\end{bmatrix}$$

$a _$^2, 01$ $|\alpha{01}|valószínűségű $|\alpha_{{00}|^2$, $10 _^2 $$és 11{11}|$|\alpha$ valószínűségű _^2$$$ valószínűségű 00 $|\alpha${{10}|értéket ad. A _, _, \alpha\alpha_{{10}{{01}$és $\alpha_{11}$ változók $\alphaszándékosan lettek elnevezve, hogy egyértelművé tegyék a kapcsolatot.{00} A mérés után, ha az eredmény $00$, akkor a két qubites rendszer kvantumállapota összeomlott, és most

$$ 00 \equiv\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}. $$

Két qubites kvantumállapotból is csak egy qubitet lehet mérni. Ha csak egy qubitet mér két qubites állapotból, a mérés hatása kis mértékben eltér a két qubit mérésétől. Ennek az az oka, hogy a teljes állapot nincs számítási alapállapotra összecsukva, hanem csak egy alrendszerre van összecsukva. Más szóval a két qubites állapot egy qubitjének mérése csak a kapcsolódó alrendszert csukja össze számítási alapállapotba.

Ennek megtekintéséhez fontolja meg a következő állapot első qubitjének mérését, amely a Hadamard-transzformáció $H-jának$ alkalmazásával jön létre két, kezdetben az &idézőjelre beállított qubiten; 0" állapot:

$$H^{\otimes 2\left}( \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\right){1}{2}\begin{bmatrix}=\frac{ 1 & 1 & 1 \\ && -1 amp; -1 && -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\\ 0\\ 0\\ 0{1}{2}\begin{bmatrix}\frac{=\end{bmatrix}1\\ 1\\ 1 1\\ 1 }=\begin{cases}\text{\mapsto\end{bmatrix}eredmény 0 & \frac{{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\\\text{eredmény }=1 & \frac{{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}\\\end{cases}. $$ Mindkét eredmény 50%-os valószínűséggel fordul elő. Ez abból a tényből is kiolvasható, hogy a mérés előtti kvantumállapot nem változik, ha $a 0$ az első qubiten 1-zel $$ van felcserélve.

Az első vagy a második qubit mérésére szolgáló matematikai szabály egyszerű. Legyen e_k k^\rm th}$ számítási alapvektor, és $S$ legyen az összes $e_k$ halmaza, hogy a kérdéses qubit az 1$ értéket $használja a k$ értékhez$.{$$$ Ha például az első qubitet szeretné mérni, akkor $az S$ e_1\equiv 10-ből $$ és $e_3\equiv 11-ből$ áll. Hasonlóképpen, ha érdekli a második qubit $S$ áll $e_2\equiv 01$ és $e_3 \equiv 11$. Ezután a kiválasztott qubit 1-nek $$ való mérésének valószínűsége az állapotvektor$\psi$

$$P(\text{1. eredmény}=)=\sum_{e_k \text{ az S}\psi^\dagger e_k e_k^\dagger\psi halmazban}. $$

Mivel minden qubit-mérés csak 0 vagy 1 értéket tud eredményezni$, a 0$ mérés $valószínűsége egyszerűen $1-P(\text{1. eredmény}=)$.$$$ Ezért csak egy képletre van szükség az 1-es$ mérés $valószínűségéhez.

Az a művelet, amelyet egy ilyen mérés az állapoton végez, matematikailag kifejezhető,

$$\psi\mapsto\frac{\sum_{e_k \text{ az S} e_k e_k^\psi}{\sqrt{\daggerP(\text{eredmény}=1)}} halmazban}. $$

Az óvatos olvasó aggódhat amiatt, hogy mi történik, ha a nevező nulla. Bár az ilyen állapot nincs meghatározva, nem kell aggódnia az ilyen esetlegességek miatt, mert a valószínűség nulla!

Ha a fent megadott egységes állapotvektort veszi figyelembe $\psi$ , és az első qubitet szeretné mérni, akkor

$$P(\text{az első qubit}=mérése 1) = (\psi^\dagger e_1)(e_1^\psi\dagger)+(\psi^\dagger e_3)(e_3^\dagger\psi)=|e_1^^\psi|\dagger2+|e_3^\dagger\psi|^2. $$

Vegye figyelembe, hogy ez csak a 10$ és $11$ eredmények $mérésére várt két valószínűség összege. A példánkban ez a

$$\frac{{1}{4}\left|\begin{bmatrix}0& 0& 1& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}\right|^2+\frac{1}{{4}\left|\begin{bmatrix}0& 0& 0& 1 1 1 1 1 1\end{bmatrix}\right|^2=\frac{{2}{1}{.\\\\\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix} $$

ami tökéletesen megfelel az intuíciónknak. Hasonlóképpen az első qubitet követő állapot 1-ként $$ is írható

$$\frac{\frac{}{2}e_1+\frac{e_3}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 1\end{bmatrix}$$

az intuíciónknak megfelelően.

Két qubites műveletek

Az egy qubites esethez hasonlóan minden egységes átalakítás érvényes művelet a qubiteken. Az n qubitek egységes átalakítása $általában egy 2^n \times 2^n$ méretű $U$ mátrix $(így a 2^n$ méretű $vektorokon működik), például $U^{-1}= U^\dagger$.$ A CNOT (controlled-NOT) kapu például egy gyakran használt két qubites kapu, amelyet a következő egységmátrix jelöl:

$$\operatorname{CNOT}=\begin{bmatrix} 1\ 0\ 0\ 0 0 \\ \ 1\ 0\ 0 \\ \ 0\ 0\ 1 \\ 0\ 0\ 1\ 1\ 0\ 0\ 0\ 0 \end{bmatrix}$$

Két qubites kaput is létrehozhatunk, ha mindkét qubiten egy qubites kaput alkalmazunk. Ha például a kapukat alkalmazza

$$\begin{bmatrix} a\ b\\ c\ d \end{bmatrix}$$

és

$$\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h \end{bmatrix}$$

az első és a második qubit esetében ez egyenértékű azzal, hogy a tensor szorzata $$\begin{bmatrix} által megadott két qubites egység: a\ b\\ c\ d \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ae\ af\ be\ bf \\ ag\ ah\ bg\ bh \\ ce\ cf\ de\ df \\ cg\ ch\ dg\ dh .\end{bmatrix}$$

Így két qubites kaput hozhat létre néhány ismert egy qubites kapu tensor termékével. Néhány példa a két qubites kapukra: $H \otimes H$, $X \otimes\mathbf{1}$és $X \otimes Z$.

Vegye figyelembe, hogy bár bármely két egy qubites kapu két qubites kaput határoz meg a tenzor termékével, a converzum nem igaz. Nem minden két qubites kapu írható az egy qubites kapuk tensor termékeként. Az ilyen kaput összecsukó kapunak nevezik. Az összecsukó kapuk egyik példája a CNOT-kapu.

A szabályozott-nem kapu mögötti intuíció tetszőleges kapukra általánosítható. A szabályozott kapu általában egy kapu, amely identitásként működik, kivéve, ha egy adott qubit $1$. Az x$ címkével ellátott $qubiten az ebben az esetben szabályozott unitárius, _x(U)$ karaktert $\Lambdajelöl. Példaként $\Lambda_0(U) e_{1}\otimes{{\psi}=e_{1}\otimes U{\psi}$ és$\Lambda _0(U) e_{{0}\otimes{\psi}=e_{0}\otimes{\psi}${ ahol $e_0$ és $e_1$ a számítási alapvektorok a 0$ és $1$ értékeknek $megfelelő egyetlen qubithez. Vegyük például a következő ellenőrzött-Z$$ kaput, majd fejezzük ki ezt a

$$\Lambda_0(Z)=\begin{bmatrix}1& 0& 0& 0\\0& 1& 0& 0\\0& 0& 1& 0\\0& 0& 0&-1 \end{bmatrix}=(\mathbf\mathbf{1}\otimes{ H)\operatorname{CNOT}(\mathbf{1}\otimes H). $$

Az ellenőrzött unitáriusok hatékony létrehozása nagy kihívást jelent. Ennek legegyszerűbb módja az alapvető kapuk ellenőrzött verzióiból álló adatbázis létrehozása, és az eredeti egységes művelet minden alapvető kapujának lecserélése annak ellenőrzött megfelelőjével. Ez gyakran elég pazarló és okos megállapítás gyakran használható, hogy csak cserélje le néhány kapu ellenőrzött verziók elérni ugyanazt a hatást. Ezért a keretrendszer lehetővé teszi, hogy vagy a naiv vezérlési módszert hajtsa végre, vagy lehetővé teszi a felhasználó számára, hogy meghatározza az egység szabályozott verzióját, ha ismert az optimalizált, kézzel hangolt verzió.

A kapuk klasszikus információkkal is vezérelhetők. A klasszikusan szabályozott not-gate például csak egy szokásos not-gate, de csak akkor alkalmazható, ha egy klasszikus bit $1$ , szemben a kvantumbitekkel. Ebben az értelemben a klasszikusan szabályozott kapuk a kvantumkód if utasításának tekinthetők, amelyben a kapu csak a kód egyik ágában van alkalmazva.

Az egy qubites esethez hasonlóan a két qubites kapukészlet is univerzális, ha bármely $4 4\times$ egységmátrixot tetszőleges pontosságúra lehet közelíteni a kapuk szorzatával. Az univerzális kapukészletek egyik példája a Hadamard kapu, a T kapu és a CNOT kapu. Ezeknek a kapuknak a termékeivel két qubiten bármilyen unitáris mátrixot megközelíthet.

Több qubites rendszerek

Pontosan ugyanazokat a mintákat követjük, mint a két qubites esetben, hogy több qubites kvantumállapotokat hozzunk létre kisebb rendszerekből. Az ilyen állapotok kisebb államok tenzortermékeinek kialakításával jönnek létre. Fontolja meg például a bitsztring $1011001$ kódolását egy kvantumszámítógépen. Ezt kódolhatja úgy, hogy

$$\equiv\begin{bmatrix} 1011001 0 \\ 1 1\begin{bmatrix} \\ \end{bmatrix}\otimes0\begin{bmatrix} \end{bmatrix}\otimes0 \\ 1\begin{bmatrix} \end{bmatrix}\otimes0 \\ 1\otimes\begin{bmatrix} \end{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 1 \\ 0\begin{bmatrix} \end{bmatrix}\otimes0 \\ 1 .\end{bmatrix} $$

A kvantumkapuk pontosan ugyanúgy működnek. Ha például az X-kaput $$ az első qubitre szeretné alkalmazni, majd a második és a harmadik qubit között CNOT-t szeretne végrehajtani, akkor ezt az átalakítást úgy fejezheti ki,

\begin{\begin{align}&Amp; (X \otimes\operatorname{CNOT}_{{12}\otimes\mathbf{1}\otimes \mathbf{\mathbf{1}\otimes \mathbf{\mathbf{1}\otimes \mathbf{\mathbf{1}) \begin{bmatrix} 0 \\ 1\begin{bmatrix} \end{bmatrix}\otimes1 \\ 0 0 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} \\ 1\begin{bmatrix} \end{bmatrix}\otimes0 \\ 1\otimes\begin{bmatrix} \end{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 1 \\ 0 0\begin{bmatrix} \end{bmatrix}\otimes0 \\ 1 \end{bmatrix}\\&\qquad\qquad\equiv 0011001. \end{align}

Sok qubitrendszerben gyakran szükség van olyan qubitek lefoglalására és felszabadítására, amelyek ideiglenes memóriaként szolgálnak a kvantumszámítógép számára. Egy ilyen qubitről azt mondják, hogy segédeszköz. Alapértelmezés szerint feltételezheti, hogy a qubit állapota a foglaláskor e_0$ lesz inicializálva$. Azt is feltételezheti, hogy a rendszer a felszabadítás előtt ismét visszaadja a $e_0$ . Ez a feltételezés azért fontos, mert ha egy kiegészítő qubit összefonódik egy másik qubitregisztrációval, amikor felszabadítják, akkor a felszabadítási folyamat károsíthatja a kiegészítő qubitet. Ezért mindig azt feltételezi, hogy az ilyen qubitek a kiadás előtt visszaállnak a kezdeti állapotukra.

Végül, bár új kapukat kellett hozzáadni a kapukészlethez, hogy két qubites kvantumszámítógép univerzális kvantum-számítástechnikát érjen el, a több qubites esetben nem kell új kapukat bevezetni. A H$, $a T$ és a CNOT kapuk $számos qubiten álló univerzális kaput alkotnak, mivel minden általános egységes átalakítás két qubit-forgásból álló sorozatra bontható. Ezután használhatja a két qubites esethez kifejlesztett elméletet, és itt is felhasználhatja, ha sok qubit van.

Kapcsolódó tartalom

• Dirac jelölés
• Pauli-mérések
• T kapuk és T-gyárak
• Kvantum-kapcsolatcsoportok
• Kvantumorákulumok