Egy qubites és több qubites Pauli-mérések

Ahogy dolgozik Q#, azt tapasztalja, hogy a Pauli-mérések gyakori mérési típusok. A Pauli-mérések általánosítják a számítási alapméréseket, hogy más alapértékekben és a különböző qubitek közötti paritásban is szerepeljenek mérések. Ilyen esetekben gyakori a Pauli operátor mérése, amely olyan operátor, mint $X, Y, Z$ vagy $Z\otimes Z, X\otimes X, X\otimes Y$stb. A kvantummérés alapjaiért tekintse meg a qubitet és a több qubitet.

A pauli operátorok mérésének megvitatása gyakori a kvantumhibák korrekciójának almezőjében.
Q# az útmutató hasonló konvenciót követ; ez a cikk a mérések alternatív nézetét ismerteti.

Mielőtt belegondolnánk a Pauli-mérések gondolatának részleteibe, érdemes átgondolni, hogy egy kvantumszámítógépen belüli egyetlen qubit mérése mit tesz a kvantumállapotban. Képzeljen el egy $n-qubit$ kvantumállapotot, majd egy qubit mérése azonnal kizárja annak a 2^n$ lehetőségnek a $felét, amelyben az állapot szerepelhet. Más szóval a mérés két féltér egyikére vetíti a kvantumállapotot. Általánosíthatja a méréssel kapcsolatos gondolkodást, hogy tükrözze ezt az intuíciót.

Ezeknek az altereknek a tömör azonosításához egy nyelvre van szükség a leírásukhoz. A két altér leírásának egyik módja, ha egy olyan mátrixon keresztül adja meg őket, amely csak két egyedi eigenvalue-t használ, amelyet konvenció szerint \pm 1-nek$ kell venni$. Az alterek ilyen egyszerű leírására a Z-t$ érdemes figyelembe venni$:

$$ \begin{ \begin{align} Z & =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}. \end{align} $$

Amikor elolvassuk a Pauli-$Z$ mátrix átlós elemeit, láthatjuk, hogy a $Z$ két sajátvektora, $\ket{0}$ és $\ket{1}$, a megfelelő sajátértékekkel $\pm 1$rendelkezik. Így ha a qubit mérése Zero (a $\ket{0}$állapotnak megfelelő) eredményt ad, akkor ismert, hogy a qubit állapota a $Z$ operátor +1$ eigenstate $. Hasonlóképpen, ha az eredmény One, akkor ismert, hogy a qubit állapota a $-1$ sajátállapota a $Z$-nak. Ezt a folyamatot a Pauli-mérések nyelvén idézőként említik &; a Pauli $Z$ mérése;& és teljes mértékben egyenértékű a számítási alapmérés elvégzésével.

Minden $olyan 2 2\times$ mátrix, amely a Z$ unitárius transzformációja$, szintén megfelel ennek a feltételnek. Ez azt is jelentheti, hogy egy mátrix $A=U^\dagger Z U$, ahol $U$ bármely más unitáris mátrix, egy olyan mátrixot adhat, amely meghatározza egy mérés két eredményét a $\pm 1$ eigenvektoraiban. A Pauli-mérések jelölése erre az egységes egyenértékűségre hivatkozik azáltal, hogy $X,Y,Z$ méréseket egyenértékű mérésekként azonosítja, amelyeket a qubitből származó információk megszerzéséhez tehet. Ezeket a méréseket itt adták meg a kényelem érdekében.

Ez azt, hogy használja ezt a nyelvet, &hányadik; az Y mértéket$; egyenértékű a HS^$& alkalmazásával$, majd a számítás alapjául szolgáló méréssel, ahol \dagger$ egy belső kvantumműveletet neveznek néha idézőjelnekS;& fáziskapu,quot&; és az egységmátrix használatával szimulálható

$$ \begin{ \begin{align}S =1 amp; 0 \begin{bmatrix} 0 & i \\.&\end{bmatrix} \end{align} $$

A $HS^\dagger$ kvantumállapot-vektorra való alkalmazása, majd a $Z$mérése is egyenértékű, így a következő művelet egyenértékű a Measure([PauliY], [q])-mel:

operation MeasureY(qubit : Qubit) : Result {
    mutable result = Zero;
    within {
        Adjoint S(q);
        H(q);
    } apply {
        result = M(q);
    }
    return result;
}

A helyes állapotot ezután a számítási alapra való visszaalakítással találjuk meg, amely az SH$ kvantumállapot-vektorra való alkalmazásának $összegét adja meg. A kódrészletben a blokk használatával within … apply automatikusan kezelik a számítási alapra való visszaalakítást.

Az Q#eredmény---that: az állapottal való interakcióból kinyert klasszikus információ--- Result j \$Zero\in, One{\texttt{\} értékkel \texttt{} , amely azt jelzi, }$hogy az eredmény a pauli operátor (-1)^j$ eigenterében van-e $mérve.

Több qubites mérések

A több qubites Pauli operátorok mérései hasonlóképpen vannak meghatározva, ahogyan az a következőből látható:

$$ Z\otimes Z =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0& 0\\ 0&-1& 0& 0\\ 0& 0&-1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix}. $$

Így két Pauli-Z$$ operátor tenzortermékei egy +1 és $-1$$ eigenvalues szóközből álló $mátrixot alkotnak. Az egykubites esethez hasonlóan mindkettő féltér-alkot, ami azt jelenti, hogy az elérhető vektortér fele a $+1$ sajátértérhez, a fennmaradó fele pedig a $-1$ sajátértérhez tartozik. Általánosságban elmondható, hogy a tensork szorzatának definíciójából könnyen látható, hogy bármely tensork szorzata a Pauli-$Z-$ operátorokból és az identitásból is megfelel ennek. Például,

$$ \begin{align}Z \otimes\mathbf{{1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 0 \\& 0 amp; 0 && -1 .\end{bmatrix} \end{align} $$

A korábbiakhoz hasonlóan az ilyen mátrixok minden egyes átalakítása a \pm 1$ eigenvalues címkével $ellátott két félteret is leírja. Például X X H H(Z$ Z)H H\otimes= a Z\otimesHXH\otimes identitásából\otimes.$$=$ Az egyqubites esethez hasonlóan az összes kétqubites Pauli-mérés felírható $U^\dagger (Z\otimes 1) U$ for $4\times 4$ unitér mátrixok $U$segítségével. Az átalakítások felsorolása az alábbi táblázatban található.

Itt a művelet a CNOT következő okból jelenik meg. A $\mathbf{1}$ mátrixot nem tartalmazó Pauli-mérések egy $Z\otimes Z$ egységgel egyenértékűek a korábbi érvelés szerint. A Z$ Z\otimes eigenvaluái $csak az egyes számítási alapvektorokat alkotó qubitek paritásától függenek, és a szabályozott-nem műveletek a paritás kiszámítására és az első bitben való tárolására szolgálnak. Ezután az első bit mérése után helyreállíthatja az eredményül kapott féltér identitását, ami egyenértékű a Pauli operátor mérésével.

Bár csábító lehet feltételezni, hogy $Z\otimes Z$ mérése ugyanaz, mint $Z\otimes\mathbb{{1}$, majd $\mathbb{1}\otimes Z$, ez a feltételezés hamis lenne. Ennek az az oka, hogy a Z Z mérése $ezeknek az operátoroknak a \otimes+1$ vagy $-1$ eigenstate-jába alakítja a kvantumállapotot.$$ A Z$\otimes, majd \mathbb{1}$$\mathbb{1} a Z\otimes mérése $először a kvantumállapot-vektort z egy fél terére$, majd a Z\otimes\mathbb{{1}$$\mathbb{ egy fél terére vetíti{1}\otimes$ki. Mivel négy számítási alapvektor van, a két mérés végrehajtása negyedre csökkenti az állapotot, és így egyetlen számítási alapvektorra csökkenti azt.

Qubitek közötti korreláció

A Pauli-mátrixok tenzoros termékeinek , például $X\otimes X$ vagy $Z\otimes Z$mérésének másik módja, hogy ezek a mérések lehetővé teszik a két qubit közötti korrelációban tárolt információk vizsgálatát. Az X$ 1\otimes mérése $lehetővé teszi az első qubitben helyileg tárolt információk áttekintését. Bár mindkét méréstípus egyformán értékes a kvantum-számítástechnikában, az előbbi megvilágítja a kvantum-számítástechnika hatékonyságát. Kiderül, hogy a kvantum-számítástechnikában gyakran a tanulni kívánt információk nem egyetlen qubitben vannak tárolva, hanem nem helyben, az összes qubitben egyszerre vannak tárolva, és ezért csak közös méréssel (például $Z\otimes Z$) nyilvánul meg ez az információ.

Tetszőleges Pauli operátorok, például $X\otimes Y \otimes Z \otimes\mathbf{1}$ is mérhetők. A Pauli operátorok összes ilyen tenzorterméke csak két eigenvalues $\pm 1$ , és mindkét eigenspace a teljes vektortér félterét alkotja. Így egybeesnek a korábban meghatározott követelményekkel.

Ebben Q#az esetben az ilyen mérések j$ értéket adnak vissza$, ha a mérés eredménye a (-1)^j$ jel $kiigenterében van. A Pauli-mérések beépített funkcióként Q# való használata azért hasznos, mert az ilyen operátorok mérése hosszú láncokat igényel ellenőrzött-NOT kapukból és alapátalakításokból, hogy leírják a művelet Z$ és $1$ tenzoros termékeként $való kifejezéséhez szükséges átlós $U$ kaput. Ha meg tudja adni, hogy szeretne-e ilyen előre meghatározott mérések egyikét elvégezni, nem kell aggódnia amiatt, hogy hogyan alakíthatja át az alapokat, hogy a számítási alapmérés a szükséges információkat adja meg. Q# automatikusan kezeli az összes szükséges alapátalakítást.

A klónozás nélküli tétel

A kvantuminformációk hatékonyak. Ez lehetővé teszi, hogy csodálatos dolgokat, például a faktorszámokat exponenciálisan gyorsabb, mint a legismertebb klasszikus algoritmusok, vagy hatékonyan szimulálja korrelált elektron rendszerek, amelyek klasszikusan igényel exponenciális költségek szimulálása pontosan. A kvantum-számítástechnika teljesítményére azonban korlátozások vonatkoznak. Az egyik ilyen korlátozást a Nem klónozás tétel adja meg.

A No-Cloning Theorem neve találó. Letiltja az általános kvantumállapotok kvantumszámítógép általi klónozását. A tétel bizonyítéka rendkívül egyszerű. Bár a klónozás nélküli tétel teljes igazolása túl technikai a cikkhez, a további kiegészítő qubitek hiányában a bizonyíték a hatókörön belül van.

Egy ilyen kvantumszámítógép esetében a klónozási műveletet egységmátrixmal kell leírni. A kvantummérés nem engedélyezett, mivel az rontaná a klónozni kívánt kvantumállapotot. A klónozási művelet szimulálásához a használt unitáris mátrixnak rendelkeznie kell az U$$\ket{\psi}\ket{{0}=\ket{\psi}\ket{\psi} tulajdonságmal $$ bármilyen állapothoz.$\ket{\psi}$ A mátrix-szorzás linearitási tulajdonsága azt jelenti, hogy bármely második kvantumállapot $\ket{\phi}$esetén

$$ \begin{ \begin{align}U \left[ \frac{{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right] \ket{{0}& =\frac{1}{\sqrt{2}} U\ket{\phi}\ket{{0} + \frac{1}{\sqrt{{2}} U\ket{\psi}\ket{0}\\& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{\phi}\ket{\phi} + \ket{\psi}\ket{\psi}\right) \\& \ne\left( \frac{{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right) \otimes\left( \frac{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right). \end{align} $$

Ez biztosítja a klónozás nélküli tétel mögötti alapvető intuíciót: minden olyan eszköznek, amely ismeretlen kvantumállapotot másol, hibát kell előidéznie legalább az általa másolt állapotok némelyikén. Bár a fő feltételezés, hogy a klónozó lineárisan hat a bemeneti állapotra, a kiegészítő qubitek hozzáadásával és mérésével megsérthető, az ilyen interakciók a mérési statisztikákon keresztül információkat is kiszivárogtatnak a rendszerről, és ilyen esetekben is megakadályozzák a pontos klónozást.

A klónozás nélküli tétel fontos a kvantum-számítástechnika minőségi megértéséhez, mert ha olcsón klónozná a kvantumállapotokat, akkor szinte varázslatos képességet kapna a kvantumállapotok megismerésére. Sőt, megsértheti Heisenberg vaunted bizonytalanság elvét. Másik lehetőségként használhat optimális klónozót, hogy egyetlen mintát vegyen egy összetett kvantumeloszlásból, és mindent megtanuljon, amit csak egyetlen mintából tudhat meg az eloszlásról. Ez olyan lenne, mintha egy érmét tükrözne, és megfigyelné a fejeket, majd amikor elmond egy barátjának az eredményről, hogy válaszolnak &idézőjelre; Ah eloszlása, hogy az érme kell Bernoulli $p=0,512643\ldots$!&idéző; Egy ilyen állítás nem lenne ensical, mert egy bit információ (a fej kimenet) egyszerűen nem tudja biztosítani a sok bitnyi információ szükséges kódolásához az eloszlás anélkül, hogy jelentős előzetes információk. Hasonlóképpen, előzetes információk nélkül nem lehet tökéletesen klónozni a kvantumállapotot, mint ahogy nem lehet előkészíteni egy ilyen érmék együttesét anélkül, hogy tudná, $p$.

Az információk nem ingyenesek a kvantum-számítástechnikában. Minden mért qubit egy bit információt ad, és a No-Cloning Tétel azt mutatja, hogy nincs olyan hátsó ajtó, amelyet ki lehetne használni a rendszerrel kapcsolatosan szerzett információ és az általa okozott zavar közötti alapvető kompromisszum megkerülésére.

Kapcsolódó tartalom

• T kapuk és T-gyárak
• Kvantum-kapcsolatcsoportok
• Kvantumorákulumok
• Grover-algoritmus