Vektorok és mátrixok a kvantum-számítástechnikában
A kvantum-számítástechnika megértéséhez elengedhetetlen a lineáris algebra ismerete. Ez a cikk bemutatja a lineáris algebra alapfogalmait, valamint a vektorok és mátrixok kvantum-számítástechnikában való használatát.
Vektorok
Az n dimenzió (vagy méret) rövid, $v$ dimenziójának (vagy méretének)$$oszlopvektora vagy vektora $az oszlopként rendezett n$ komplex számok $(v_1,v_2,\ldots,v_n)$ gyűjteménye:
$$v =\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix}$$
A v vektor $$ norma _i $\sqrt{\sumv_i||^2}$. A vektorokat egységvektornak nevezzük, ha a $norma 1$.
A v$ oszlopvektor mellékvektora $ egy v^\dagger$ formátumú $sorvektor, amely a v$ konjugált transzponálásaként $van definiálva. Az n dimenzió v oszlopvektorához $az adjoint az 1 \times n$ dimenzió $sorvektora:$$$
$$\begin{bmatrix}v_1 \ \vdots \ v_n \end{bmatrix}^\dagger=\begin{bmatrix}v_1^* & \cdots& v_n^* \end{bmatrix}$$
ahol $v_i^*$ a v_i$ összetett konjugálását $jelöli.
Lineáris algebra használatával egy qubit $\psi= egy \ket{0} + b \ket{1}$kvantumállapot-vektorként$\begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix}$, ahol $|egy|^2 + |b|^2 = 1$. További információ: A qubit.
Skaláris szorzat
Két vektor együtt szorozható a skaláris terméken keresztül, más néven pont terméken vagy belső terméken keresztül. Ahogy a neve is mutatja, a két vektor skaláris szorzatának eredménye egy skaláris. A skaláris termék az egyik vektort egy másikra vetíti ki, és az egyik vektort más egyszerűbb vektorok összegeként fejezi ki. Az u és a v $\left\langle$ oszlopvektorok $közötti skaláris szorzat u, v=\right\rangle u^\dagger v $ és definíciója:$$
$$\left\langleu, v\right\rangle= u^\dagger v=\begin{bmatrix}u_1^* & \cdots&Amp; u_n^* \end{bmatrix}v_1 \vdots\\ v_n=\end{bmatrix}u_1^* v_1 + \cdots + u_n^* v_n.\\\begin{bmatrix} $$
A skaláris terméknél a vektor $v$ norma v, v\rangle}$ formátumban $\sqrt{\langle írható.
Egy vektort megszorozhat egy számmal $egy$ új vektor létrehozásához, amelynek bejegyzéseit megszorozza $az a$. Két u és $v vektort $$ is hozzáadhat egy új vektor létrehozásához, amelynek bejegyzései az u$ és $a v$ bejegyzéseinek $összegét$ képezik. Ezek a műveletek a következők:
$$ au+bv =\begin{bmatrix} au_1+bv_1\\ au_2+bv_2\\ \vdots\\ au_n+bv_n \end{bmatrix}$$
Mátrixok
Az m \times n$ méretű $mátrix m\cdot n$ komplex számok gyűjteménye $m$ sorokban és $n$ oszlopokban $az alábbiak szerint:
$$M =\begin{bmatrix} M_{11} M_{12}\cdots M_{1n}\\ M_{{21} M_{22}\cdots M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1} M_{m2}\cdots M_{mn}\\\end{bmatrix}$$
Feljegyzés
Vegye figyelembe, hogy az n dimenzió $vektora egyszerűen egy n \times 1$ méretű $$ mátrix.
A kvantumműveleteket négyzetes mátrixok jelölik, azaz a sorok és oszlopok száma egyenlő. Az egy qubites műveleteket például 22$\times mátrix jelöli$, például a Pauli $X$ művelet
$$X =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$
Tipp.
A Q#Pauli $X$ műveletet a X művelet képviseli.
A vektorokhoz hasonlóan egy mátrixot megszorozhat egy c$ számmal $egy új mátrix létrehozásához, ahol minden bejegyzést megszoroznak c-vel$$, és két azonos méretű mátrixot adhat hozzá egy új mátrix létrehozásához, amelynek bejegyzései a két mátrix megfelelő bejegyzéseinek összegét képezik.
Mátrix szorzása
A $M$ mátrix $m \times n$ dimenzióval és az $N$ mátrix $n \times p$ dimenzióval való szorzatával kaphat új, $P$ mátrixot $m \times p$ dimenzióval az alábbiak szerint:
$$ \begin{ \begin{align} &\begin{bmatrix} M_{{11} M_{12}\cdots M_{1n}\\ M_{{21} M_{22}\cdots M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1} M_{m2}\cdots M_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} N_{{11} N_{{12}\cdots N_{1p}\\ N_{{21} N_{22}\cdots N_{2p}\\\ddots\\ N_{n1} N_{n2}\cdots N_{np}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} P_{{11} P_{12}\cdots P_{1p}\\ P_{21} P_{{22}\cdots P_{2p}\\\ddots\\ P_{m1} P_{m2}\cdots P_{mp}\end{bmatrix}\end{align}$$
ahol a P$$bejegyzései $P_{ik=\sum}_j M_{ij}N_{jk}$. A P_ bejegyzés $például az M$ első sorának skaláris szorzata $az N$ első oszlopával$.{11}$ Vegye figyelembe, hogy mivel a vektor egy mátrix speciális esete, ez a definíció a mátrix-vektor szorzásra is kiterjed.
Speciális mátrixtípusok
Az egyik speciális négyzetmátrix az identitásmátrix,\mathbb{I}$$\mathbb{ amelynek minden átlós eleme $1$, a fennmaradó elemek pedig 0-nak$ felel meg$:
$\mathbb{ \mathbb{I}=\begin{bmatrix} 1 0 \cdots 0\\ 0 1 \cdots 0\\\ddots\\ 0 0 \cdots 1 \end{bmatrix}.$
Négyzetes A mátrix $esetén a B$ mátrix $inverze, ha $AB = BA =\mathbb{\mathbb{I}$.$ Ha az A mátrix $inverzsel rendelkezik, az inverz mátrix egyedi, és A^{-1}$-ként $van megírva$.
Bármely M mátrix $esetében az M$ szomszédos vagy konjugált transzponálása $egy N$ mátrix$, amely $N_{ij}= M_{ji}^*$.$ Az M melléknevét $M^\dagger$-nek nevezzük$.$
Az U mátrix $egységben van, ha $UU^ U^\dagger\dagger= U\mathbb{I}$=vagy ezzel egyenértékű, $U^{{-1}= U^.\dagger$$ Az egység mátrixok egyik fontos tulajdonsága, hogy megőrzik a vektorok normát. Ez azért történik, mert
$\langle v,v \rangle=v^{\dagger} v = v^{\dagger} U^{{-1} U v = v^{\dagger} U^{\dagger} U v =\langle U v, U v\rangle.$
Feljegyzés
A kvantumműveleteket unitárius mátrixok jelölik, amelyek négyzetes mátrixok, amelyek mellékjele megegyezik az inverzükkel.
Az M mátrix neve Remete, ha $M^=\dagger$.$$
A kvantum-számítástechnikában lényegében csak két mátrixtal találkozunk: Remete és unitárius.
Tensor termék
Egy másik fontos művelet a tensor termék, más néven mátrix közvetlen termék vagy Kronecker-termék.
Vegyük figyelembe a két vektort $v=\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ és $u =\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$. A tenzor termék v u-ként $\otimes$ van jelölve, és blokkmátrixot eredményez.
$$ \begin{bmatrix} \\ b \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} b \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a c \\ a d \\ b c \\ b d \end{bmatrix}$$
Feljegyzés
Vegye figyelembe, hogy a tenzor termék megkülönböztethető a mátrix szorzásától, ami teljesen más művelet.
A tensor termék több qubit együttes állapotát jelöli. A kvantum-számítástechnika valódi ereje abból fakad, hogy több qubitet használ a számítások végrehajtásához. További információ: Műveletek több qubiten.