Dirac-jelölés a kvantum-számítástechnikában
dirac notation a kvantumállapotok és műveletek rövid és hatékony leírása. Paul Dirac fizikusról kapta a nevét, aki az 1930-s években fejlesztette ki a jelölést. A dirac jelölést a kvantum-számítástechnikában használják kvantumállapotok, kvantumműveletek és kvantummérések leírására.
Ez a cikk bemutatja a Dirac-jelölést, és bemutatja, hogyan használható kvantumállapotok és műveletek leírására.
Vektorok a Dirac-jelölésben
A Dirac-jelölésben kétféle vektor létezik: a zárójel vektor, amely egy sorvektornak felel meg, és az oszlopvektornak megfelelő ket vektor. Ezért a Dirac-jelölést bra-ket jelölésnek is nevezik.
Ha $\psi$ oszlopvektor, akkor Dirac-jelöléssel írhatja fel mint $\ket{\psi}$, ahol a $\ket{\cdot}$ azt jelzi, hogy ez egy ket vektor.
Hasonlóképpen, a $\psi^\dagger$ sorvektor $\bra{\psi}$-ként van kifejezve, amely egy bra vektor. Más szóval a $\psi^\dagger$ kifejezés a bejegyzés-bölcs komplex konjugáció alkalmazásával érhető el a transzponálás $\psi$elemeire. A bra-ket jelölés közvetlenül azt jelenti, hogy $\braket{\psi|\psi}$ a vektor $\psi$ belső terméke önmagával, ami definíció szerint $1$.
Általánosabb, ha $\psi$ és $\phi$ kvantumállapot-vektorok, akkor a belső termék .$\braket{\phi|\psi}$ Ez a belső termék azt jelenti, hogy az állapot $\ket{\psi}$ mérésének $\ket{\phi}$$|\braket{\phi|\psi}|valószínűsége ^2$.
A számítási alap állapotok $0$ és $1$ le vannak írva mint $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}=\ket{{0}$, illetve $\begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}=\ket{1}$.
Példa: A Hadamard-művelet ábrázolása Dirac-jelöléssel
Alkalmazzuk a Hadamard kaput $H$ a kvantumállapotokra $\ket{0}$ és $\ket{1}$ Dirac-jelöléssel:
$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}=H\ket{{0}=\ket{+}$$
$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}=H\ket{{1}=\ket{-}$$
Az eredményül kapott állapotok a blokgömb $+x$ és $-x$ irányának egységvektorainak felelnek meg. Ezek az állapotok a Dirac-jelöléssel is bővíthetők a következők összegeként $\ket{0}$$\ket{1}$:
$$ \ket{+}=\frac{{1}{\sqrt{2}}(\ket{0} + \ket{1}) $$
$$ \ket{-} = \frac{1}{\sqrt{ {2}}(\ket{0} - \ket{1}) $$
Számítási alapvektorok
Minden kvantumállapot mindig számítási alapvektorok összegeként fejezhető ki, és az ilyen összegek egyszerűen kifejezhetők Dirac-jelöléssel. A converzum abban is igaz, hogy az állapotok $\ket{+}$ és $\ket{-}$ a kvantumállapotok alapját is képezik. Ez abból a tényből látható, hogy
$$ \ket{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+} + \ket{-}) $$
$$ \ket{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+} - \ket{-}) $$
A Dirac-jelölés példájaként vegye figyelembe a 0 1 féket$\braket{, amely a 0| és }$1$ közötti $belső termék.$$ Megírható úgy,
$$ \braket{0 | 1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}=0. $$
Ez a példa ezt mondja, $\ket{{0}$ és $\ket{{1}$ orgonális vektorok, ami azt jelenti, hogy $\braket{0 | 1 1}=\braket{| 0 0.}=$ Emellett a $\braket{definíció szerint 0 0 |}=\braket{1 | 1}=1$, ami azt jelenti, hogy a két számítási alapvektort ortoporálisnak is nevezhetjük.
Ezeket az ortopédiai tulajdonságokat az alábbi példában használjuk. Ha van egy állapot $\ket{\psi}={\frac{3}{5}}\ket{{1}+{\frac{{4}{5}}\ket{0}$ , akkor mivel $\braket{1 | 0 0}=$ az 1$ mérésének valószínűsége $
$$ \big|\braket{1 |^2\psi}\big|=\left|\frac{1 {3}{5}\braket{ 1| +}\frac{1 {4}{5}\braket{ 0|^2}\right|=\frac{{9}{.{25} $$
Tensor termék jelölése
A Dirac jelölés nagyon hasznos a tenzor szorzatkifejezésére. A Tensor-termék azért fontos a kvantum-számítástechnikában, mert a két nem rögzített kvantumregisztrációs regiszter által leírt állapotvektor a két állapotvektor tenzorterméke.
A tenzor termék $\psi\otimes\phi$ bármely két kvantumállapot-vektorhoz $\phi$ és $\psi$ Dirac-jelölésben $\ket{\psi}\otimes\ket{\phi}$. Konvenció szerint a tenzor szorzatot is felírhatja $\ket{\psi}\ket{\phi}=\ket{\psi\phi}$.
A nulla állapotba inicializált két qubitet tartalmazó állapot például $\ket{{0}\otimes\ket{0}=\ket{0}\ket{0}=\ket{00}$.
Példa: Szuperpozíció leírása Dirac-jelöléssel
Egy másik példa arra, hogyan használhatja a Dirac-jelölést egy kvantumállapot leírására, fontolja meg az alábbi egyenértékű módszereket egy kvantumállapot írására, amely egyenlő szuperpozíció minden lehetséges n hosszúságú $bitsztring felett$
$$H^{\otimes n}\ket{0}=\frac{1}{2^{n/2}}\sum_{j=0}^{2^n-1}\ket{j}=\ket{+}^{\otimes n.} $$
Itt felmerülhet a kérdés, hogy $miért 0$ és $2^{n-1}$$$ közötti összeg n bit esetén. Először is vegye figyelembe, hogy $az n{ bitek 2^}$n$ különböző konfigurációt $használhatnak. Ezt úgy tekintheti meg, hogy egy bit 2$ értéket vehet fel$, de két bit 4$ értéket és $így tovább. Ez általában azt jelenti, hogy 2^n$ különböző lehetséges bitsztring van$, de bármelyikben $a legnagyobb kódolt érték 1 1\cdots= 2^n-1$, ezért ez az összeg felső korlátja. Mellékes megjegyzésként ebben a példában nem használta $\ket{a +}^{\otimes n}=\ket{+}$ függvényt a^$\ket{n{0}{\otimes}= hasonlatában.\ket{{0}$ Ez a jelölési konvenció a számítási alapállapot számára van fenntartva, és minden qubit nullára van inicializálva. Bár az ilyen konvenciók ebben az esetben ésszerűek, a kvantum-számítástechnika szakirodalomban nem használják.
Lineárisság kifejezése Dirac-jelöléssel
A Dirac-jelölés másik funkciója az a tény, hogy lineáris. Például két összetett számhoz $\alpha$ , és $\beta$írhat
$$ \ket{\psi} \otimes ( \alpha\ket{\phi} + \beta\ket{\chi})=\alpha\ket{\psi}\ket{\phi} + \beta\ket{\psi}\ket{\chi}.$$
Ez azt is jelentheti, hogy a tenzor termék jelölését dirac jelölésben oszthatja el, így a tenzor termékek állami vektorok közötti bevétele ugyanúgy néz ki, mint a szokásos szorzás.
A bra vektorok a ket vektorokhoz hasonló konvekciót követnek. A vektor $\bra{\psi}\bra{\phi}$ például egyenértékű a(z) ^$\psi\dagger\otimes^\phi(\dagger=\psi\otimes)^állapotvektorral.\phi\dagger$ Ha a ket vektor $\ket{\psi}$$\alpha\ket{0} + \beta\ket{1}$, akkor a vektor $\bra{\psi}=\ket{\psi}bra vektorverziója ^\dagger= (\bra{{0}\alpha^* +\bra{1}\beta^*).$
Tegyük fel például, hogy ki szeretné számítani az állapot $\ket{\psi}=\frac{3}{5}\ket{{1}mérésének valószínűségét + \frac{4}{5}\ket{0}$ az állapotok $\ket{mérésére szolgáló kvantumprogrammal + vagy .}$$\ket{{-}$ Ezután annak a valószínűsége, hogy az eszköz kimenete az állapot $\ket{-}$
$$|\braket{- |^2\psi}|=\left|\frac{{1}{\sqrt{({2}} -\bra{0}\bra{ )({1}\frac{3}{5}\ket{ +{1}\frac{{4}{5} ) \ket{0}^2-5\right|=\left|\frac{3}{\sqrt{ +{2}}\frac{ 5{4}{^2.\sqrt{2}}\right|=\frac{{1}{{50}$$
Az a tény, hogy a negatív jel megjelenik a valószínűség kiszámításában, a kvantum-interferencia megnyilvánulása, amely az egyik olyan mechanizmus, amellyel a kvantum-számítástechnika előnyt szerez a klasszikus számítástechnikával szemben.
ketbra vagy külső termék
Az utolsó tétel érdemes megvitatni a Dirac jelölés a ketbra vagy a külső termék. A külső termék a Dirac jelöléseken belül $\ket{\psi}\bra{\phi}$. A külső termék mátrix-szorzáson keresztül van definiálva^ értékként $\ket{\psi}\bra{\phi}=\psi\phikvantumállapot-vektorok \dagger$ és .$\psi$$\phi$ Ennek a jelölésnek a legegyszerűbb és vitathatatlanul leggyakoribb példája a
$$ \ket{0} \bra{ {0} = \begin{bmatrix}1\\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1& 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}\qquad\ket{1}\bra{1}=\begin{bmatrix}0\\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0& 10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}& 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}. $$
A ketbrákat gyakran projektoroknak nevezik, mert rögzített értékre vetíti a kvantumállapotokat. Mivel ezek a műveletek nem egységesek (és nem is őrzik meg a vektorok normáit), a kvantumszámítógépek nem alkalmazhatnak determinisztikus módon kivetítőt. A kivetítők azonban nagyszerűen írják le a mérés kvantumállapoton végzett műveletét. Ha például egy állapotot $\ket{\psi}$ 0$ értékre $mér, akkor az eredményként kapott átalakítás, amelyet az állapot a mérés eredményeként tapasztal
$$\ket{\psi} \rightnyíl \frac{(\ket{{0}\bra{{0})\ket{\psi}}{|\braket{0 ,|\psi}|}=\ket{{0}$$
ahogy azt várná, ha megmérné az állapotot, és azt látná.$\ket{0}$ Megismétlendő, hogy az ilyen kivetítők nem alkalmazhatók kvantumszámítógépek állapotára determinisztikus módon. Ehelyett a legjobb esetben véletlenszerűen alkalmazhatók úgy, hogy az eredmény $\ket{0}$ bizonyos rögzített valószínűséggel jelenik meg. Az ilyen mérés sikerességének valószínűsége megírható a kvantumvetítő várható értékeként az állapotban
$$ \bra{\psi}(\ket{0}\bra{0})\ket{\psi}=|\braket{\psi| 0}|^2,$$
amely azt szemlélteti, hogy a kivetítők új módot adnak a mérési folyamat kifejezésére.
Ha inkább egy több qubites állapot első qubitjének 1-nek$ a mérését $veszi fontolóra, akkor ezt a folyamatot is kényelmesen leírhatja kivetítők és Dirac-jelölések használatával:
$$P(\text{első qubit = 1})=\bra{\psi}\left(\ket{{1}\bra{{1}\otimes \mathbf{\mathbf{1}^{\otimes n-1}\right) . \ket{\psi} $$
Itt az identitásmátrix kényelmesen megírható Dirac-jelölésben
$$ \mathbb{I}=\ket{{0}\bra{0}+\ket{{1}\bra{1}=\begin{bmatrix}1& 0\\ 0& 1\end{bmatrix}. $$
Abban az esetben, ha két qubit van, a kivetítő kibontható a következő módon:
$$ \ket{1} \bra{1} \otimes \mathbb{I}=\ket{{1}\bra{1}\otimes (\ket{0}\bra{0}+\ket{1}\bra{{1})=\ket{10}\bra{{10} + . \ket{{11}\bra{{11} $$
ezt követően láthatja, hogy ez összhangban van a többkettős állapotok oszlopvektor-jelöléssel történő mérési valószínűségével kapcsolatos vitával:
$$P(\text{első qubit = 1})=\psi^\dagger (e_{10}e_{10}^\dagger + e_{{11}e_{{11}^\dagger)\psi=|e_{{10}^^\dagger\psi|2 + |e_{11}^\dagger\psi|^2,$$
amely megfelel a több qubites mérési vitafórumnak. Ennek az eredménynek a több qubites esetre történő általánosítása azonban kissé egyszerűbb a Dirac-jelöléssel való kifejezéshez, mint az oszlopvektor jelölése, és teljes mértékben egyenértékű az előző kezeléssel.
Sűrűség operátorok
Egy másik hasznos operátor a Dirac-jelölés használatával történő kifejezéshez a sűrűség operátor, más néven állapotoperátor. A kvantumállapot vektoraként a sűrűség operátor egy rendszer kvantumállapotát írja le. Míg a kvantumállapot-vektorok csak tiszta állapotokat képviselhetnek, a sűrűségi operátorok vegyes állapotokat is képviselhetnek.
Általánosságban elmondható, hogy egy adott mátrix $\rho$ érvényes sűrűség operátor, ha a következő feltételek teljesülnek:
- $\rho$ összetett számok mátrixa
- $\rho = \rho^{\dagger}$ (azaz $\rho$ remete)
- A \rho$ minden eigenvalue $p$ értéke $nem negatív
- A \rho$ sum összes eigenvalue-ja $1-nek
Ezek a feltételek együttesen garantálják, hogy $a \rho$ együttesnek tekinthető. A kvantumállapot-vektor sűrűségoperátora a \rho$\ket{\psi}$$ _i p_i _i=\sum\ket{\psi_i} a \rho\bra{\psi eigenvalue felbontása}$, majd $a \rho$ a \rho$$$={ _i együttest \ket{\psiírja le valószínűségi} p_i.\text{}}$
A tiszta kvantumállapotok azok, amelyeket egyetlen ketvektor vagy hullámfüggés jellemez, és nem írhatók más kvantumállapotok statisztikai keverékeként (vagy konvex kombinációjaként). A vegyes kvantumállapot a tiszta állapotok statisztikai együttese.
A Bloch-gömbön a tiszta állapotokat a gömb felszínén lévő pont, míg a vegyes állapotokat egy belső pont képviseli. Egy qubit vegyes állapotát a gömb közepe, szimmetria jelöli. Az állapot tisztasága a gömb felszínéhez közel álló fokként jeleníthető meg.
Az állapot vektor helyett mátrixként való ábrázolásának ez a fogalma gyakran kényelmes, mert kényelmes módot ad a valószínűségszámítások megjelenítésére, és lehetővé teszi a statisztikai bizonytalanság és a kvantumbizonytalanság leírását is ugyanazon formalizmuson belül.
A \rho$ sűrűség operátor $akkor és csak akkor jelöl tiszta állapotot, ha:
- $A \rho$ egy állapotvektor külső termékeként írható, $\rho=\ket{\psi}\bra{\psi}$
- $\rho =\rho^2$
- $tr(\rho^2)=1$
Annak megállapításához, hogy milyen közel van egy adott sűrűségoperátor $\rho$ ahhoz, hogy tiszta legyen, megtekintheti a \rho^2$ nyomát (vagyis az átlós elemek összegét).$ A sűrűségoperátor akkor és csak akkor jelöl tiszta állapotot, ha $tr(\rho ^{2})=1$.
Q# kvantumállapotokkal egyenértékű kapuütemezések
Egy utolsó pont, amelyet érdemes kiemelni a kvantum jelöléséről és a Q# programozási nyelvről: a dokumentum elején említettük, hogy a kvantumállapot a kvantum-számítástechnika alapvető információobjektuma. Ez aztán meglepetésként jelenhet meg, hogy Q# a kvantumállapot fogalma nem létezik. Ehelyett minden állapotot csak az előkészítéshez használt műveletek írnak le. Az előző példa ennek kiváló illusztrációja. Ahelyett, hogy egységes szuperpozíciót ad meg egy regiszter minden kvantumbit-sztringje felett, az eredményt H^$ n-ként{\otimes}\ket{0}$ jelölheti. Az állapot exponenciálisan rövidebb leírása nem csupán azzal az előnnyel jár, hogy klasszikusan érvelhet vele kapcsolatban, hanem tömören meghatározza azokat a műveleteket is, amelyeket a szoftververemen keresztül kell propagálni az algoritmus implementálásához. Ezért úgy tervezték, Q# hogy kvantumállapotok helyett kapuütemezéseket bocsát ki; elméleti szinten azonban a két nézőpont egyenértékű.