Tek kubitli ve çok kubitli Pauli ölçümleri

ile Q#çalışırken, Pauli ölçümlerinin ortak bir ölçüm türü olduğunu fark edebilirsiniz. Pauli ölçümleri, hesaplama temeli ölçümlerini, diğer tabanlardaki ölçümleri ve farklı kubitler arasındaki eşliği içerecek şekilde genelleştirir. Bu gibi durumlarda, $X,Y,Z$ veya $Z\otimes Z, X\otimes X, X\otimes Y$gibi bir işleç olan Pauli işlecinin ölçülmesi yaygın bir durumdur. Kuantum ölçümünün temelleri için bkz . Kubit ve Birden çok kubit.

Ölçümün Pauli işleçleri açısından tartışılması, kuantum hata düzeltmesinin alt alanında yaygındır.
Q# kılavuz benzer bir kuralı izler; bu makalede ölçümlerin bu alternatif görünümü açıklanmaktadır.

Pauli ölçümünün nasıl düşüneceğinin ayrıntılarını gözden geçirmeden önce, kuantum bilgisayarın içindeki tek bir kubiti ölçmenin kuantum durumuna ne yaptığını düşünmek yararlı olur. $N$ kubit kuantum durumunu düşünün; ardından bir kubitin ölçülmesi, bu durumda olabilecek 2^n$ olasılığın $yarısını hemen dikkate alır. Başka bir deyişle ölçüm, kuantum durumunu iki yarım alandan birine projeler. Bu sezgiyi yansıtacak şekilde ölçü hakkında düşünme şeklinizi genelleştirebilirsiniz.

Bu alt alanları kısa bir şekilde tanımlamak için, bunları tanımlamak için bir dile ihtiyaç vardır. İki alt alanı tanımlamanın bir yolu, bunları yalnızca iki benzersiz eigenvalue değeri olan ve kural tarafından \pm 1$ olarak alınan bir matris aracılığıyla belirtmektir$. Alt uzayları bu şekilde $açıklamaya yönelik basit bir örnek için Z$:

$$ \begin{ \begin{align} Z & =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}. \end{align} $$

Pauli-$Z$ matrisinin köşegen elemanlarını okuduğunuzda, $Z$ matrisinin, $\ket{0}$ ve $\ket{1}$, karşılık gelen özdeğerler $\pm 1$ile iki özvektörü olduğunu görebilirsiniz. Bu nedenle, kubitin ölçümü Zero (durum $\ket{0}$karşılık gelir) ile sonuçlanırsa, kubitin durumunun $Z$ işlecinin $+1$ eigenstate olduğu bilinmektedir. Benzer şekilde, sonuç Oneise kubitin durumunun $-1$ özdurumu olduğu ve $Z$ile ilişkili olduğu bilinmektedir. Bu işlem, Pauli ölçümlerinin dilinden alıntı olarak &adlandırılır; Pauli $Z,quot$&;'un ölçülmesi ve hesaplama temeli ölçümü gerçekleştirmekle tamamen eşdeğerdir.

$Z'nin\times ünitesel dönüşümü $olan 2$ 2$ matris de bu ölçütleri karşılar. Başka bir deyişle, $A=U^\dagger Z U$matrisini, $U$ herhangi bir diğer üniter matris olacak şekilde kullanarak, bir ölçümün iki sonucunu $\pm 1$ özvektörlerinde tanımlayan bir matris elde edebilirsiniz. Pauli ölçümlerinin gösterimi, $X,Y,Z$ ölçümlerini bir kubitten bilgi almak için yapabileceğiniz eşdeğer ölçümler olarak tanımlayarak bu ünitesel denkliğe başvurur. Bu ölçümler kolaylık sağlamak için burada verilmiştir.

Yani, bu dili kullanarak, " ölçü $Y$" HS^$ uygulama \dagger$ve ardından hesaplama temelinde ölçme ile eşdeğerdir; burada S bazen çekirdek olarak da adlandırılan &iç kuantum işlemidir; faz kapısı,& quot; ve birim matris kullanılarak simülasyon yapılabilir

$$ \begin{ \begin{align}S =1 amp; 0 \begin{bmatrix} 0 & i \\.&\end{bmatrix} \end{align} $$

Ayrıca kuantum durumu vektöre $HS^\dagger$ uygulamak ve ardından $Z$ölçmekle eşdeğerdir; böylece aşağıdaki işlem Measure([PauliY], [q])eşdeğerdir:

operation MeasureY(qubit : Qubit) : Result {
    mutable result = Zero;
    within {
        Adjoint S(q);
        H(q);
    } apply {
        result = M(q);
    }
    return result;
}

Daha sonra doğru durum, kuantum durumu vektörü için SH$ uygulama miktarı olan hesaplama temeline geri dönüştürülerek $bulunur; kod parçacığında hesaplama tabanına dönüştürme, bloğun within … apply kullanımıyla otomatik olarak işlenir.

içinde Q#sonuç--- yani durumla etkileşimden ayıklanan klasik bilgiler--- sonucun Pauli işlecinin ölçülen (-1)^jResult eigenspace içinde $olup olmadığını belirten j \in \{\texttt{Zero}, \texttt{One}\}$ değeri $kullanılarak $ verilir.

Çoklu kubit ölçümleri

Çok kubitli Pauli işleçlerinin ölçümleri aşağıdakilerden görüldüğü gibi benzer şekilde tanımlanır:

$$Z\otimes Z =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0& 0\\ 0&-1& 0& 0\\ 0& 0&-1& 0\\ 0& 0& 0& 1.\end{bmatrix} $$

Bu nedenle, iki Pauli-Z$$ işlecinin tensor ürünleri +1 ve $-1$$ eigenvalue'lardan oluşan iki alandan $oluşan bir matris oluşturur. Tek kubitli durumda olduğu gibi, her ikisi de yarı boşlukoluşturur; yani erişilebilir vektör alanının yarısı $+1$ eigenspace'e, kalan yarısı da $-1$ eigenspace'e aittir. Genel olarak, Pauli-$Z$ operatörlerinin tensor ürününün tanımından ve kimliğin buna uyduğundan kolayca anlaşabilirsiniz. Örneğin,

$$ \begin{align}Z \otimes\mathbf{{1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 0 \\& 0 amp; 0 && -1.\end{bmatrix} \end{align} $$

Daha önce olduğu gibi, bu tür matrislerin herhangi bir birimsel dönüşümü de \pm 1$ eigenvalues ile $etiketlenmiş iki yarım boşluğu açıklar. Örneğin, $Z HXH\otimes= kimliğinden \otimesX\otimes X \otimes H H(Z$$ Z)=$H. Tek kubitli büyük/küçük harfe benzer şekilde, iki kubitli Pauli ölçümlerinin tümü U$$birim matrisleri $4\times 4$ için $U^\dagger (Z\otimes 1) U$ olarak yazılabilir. Dönüştürmeler aşağıdaki tabloda numaralandırılmıştır.

Burada, CNOT işlem aşağıdaki nedenden dolayı görüntülenir. Önceki mantığa göre, $\mathbf{1}$ matrisini içermeyen her bir Pauli ölçümü, bir birimlik eşdeğerlik açısından $Z\otimes Z$ ile eşdeğerdir. Z Z'nin $\otimes$ eigenvalues değeri yalnızca her hesaplama temel vektörü oluşturan kubitlerin eşliğine bağlıdır ve denetimli olmayan işlemler bu eşliği hesaplamaya ve ilk bitte depolamaya hizmet eder. Ardından ilk bit ölçüldükten sonra elde edilen yarım alanın kimliğini kurtarabilirsiniz. Bu, Pauli işlecini ölçmeye eşdeğerdir.

Ayrıca, $Z\otimes Z$ ölçümlerinin $Z\otimes\mathbb{{1}$ ve ardından $\mathbb{1}\otimes Z$sıralı olarak ölçmekle aynı olduğunu varsaymak cazip olsa da, bu varsayım yanlış olacaktır. Bunun nedeni, Z Z ölçümünün $kuantum durumunu bu işleçlerin \otimes+1$ veya $-1$ eigenstate'ine dönüştürmesidir.$$ Z$ ve Z\otimes\mathbb{1}$$\mathbb{1} ölçülmesi\otimes, kuantum durumu vektörünün ilk olarak Z'nin yarım alanına, ardından da Z'nin $$\otimes\mathbb{yarım alanına yansıtılması{1}$$\mathbb{{1}\otimes.$ Dört hesaplama temeli vektörü olduğundan, her iki ölçümün de gerçekleştirilmesi durumu çeyrek alana düşürür ve böylece tek bir hesaplama temeli vektörü haline getirir.

Kubitler arasındaki bağıntılar

$X\otimes X$ veya $Z\otimes Z$gibi Pauli matrislerinin tensor ürünlerini ölçmenin başka bir yolu da, bu ölçümlerin iki kubit arasındaki bağıntılarda depolanan bilgilere bakmanıza olanak tanır. X$ 1'in\otimes ölçülmesi$, ilk kubitte yerel olarak depolanan bilgilere bakmanızı sağlar. Her iki ölçüm türü de kuantum bilişiminde eşit derecede değerli olsa da, ilki kuantum bilişiminin gücünü aydınlatıyor. Kuantum bilişiminde, genellikle öğrenmek istediğiniz bilgilerin tek bir kubitte depolanmadığını, bunun yerine yerel olmayan bir şekilde tüm kubitlerde aynı anda depolanmadığını ve bu nedenle yalnızca bir ortak ölçüm üzerinden bakarak (örn. $Z\otimes Z$) bu bilgilerin bildirim haline geldiğini ortaya koyar.

X$ Y \otimes Z\otimes\otimesgibi \mathbf{1}$rastgele Pauli işleçleri de ölçülebilir. Pauli işleçlerinin tüm bu tensor ürünleri yalnızca iki eigenvalues $\pm 1'e$ sahiptir ve her iki eigenspace de vektör alanının tamamının yarım boşluklarını oluşturur. Bu nedenle, daha önce belirtilen gereksinimlerle çakışırlar.

içindeQ#, ölçüm işareti $(-1)^j'nin eigenspace değeriyle sonuç verirse bu tür ölçümler j$$ döndürür$. Bu tür operatörlerin ölçülmesi, işlemi ZQ# ve 1'in$ tensor ürünü $olarak ifade etmek için gereken çaprazlaştırıcı $U$ geçidini tanımlamak için uzun denetimli DEĞİl kapı zincirleri ve $temel dönüşümler gerektirdiğinden, içinde yerleşik bir özellik $ olarak Pauli ölçümlerine sahip olmak yararlıdır. Bu önceden tanımlanmış ölçümlerden birini yapmak istediğinizi belirterek, hesaplama temeli ölçümü gerekli bilgileri sağlayacak şekilde temelinizi nasıl dönüştüreceğiniz konusunda endişelenmeniz gerekmez. Q# sizin için gerekli tüm temel dönüştürmeleri otomatik olarak işler.

Klonlama Yok Teorem

Kuantum bilgileri güçlüdür. En iyi bilinen klasik algoritmalardan üstel olarak daha hızlı faktör sayıları gibi şaşırtıcı şeyler yapmanıza veya doğru simülasyon yapmak için klasik olarak üstel maliyet gerektiren bağıntılı elektron sistemlerinin simülasyonunu verimli bir şekilde yapmanıza olanak tanır. Ancak kuantum bilişiminin gücünde sınırlamalar vardır. Böyle bir sınırlama, Klonlama Yok Teorem'i tarafından verilir.

Klonlama Yok Teoreminin adı düzgün bir şekilde verilmiştir. Bir kuantum bilgisayar tarafından genel kuantum durumlarının kopyalanmasına izin vermemektedir. Teorem kanıtı son derece basittir. Kopyalama yok teoreminin tam kanıtı bu makale için çok teknik olsa da, ek yardımcı kubit olmaması durumunda kanıt kapsam dahilindedir.

Böyle bir kuantum bilgisayar için kopyalama işlemi bir birim matrisle açıklanmalıdır. Kopyalanacak kuantum durumunu bozabileceğinden kuantum ölçümüne izin verilmez. Kopyalama işleminin benzetimini yapmak için kullanılan birim matrisin herhangi bir durum için U$$\ket{\psi}\ket{{0}=\ket{\psi}\ket{\psi} özelliğine $$ sahip olması gerekir.$\ket{\psi}$ Matris çarpmasının doğrusallık özelliği daha sonra herhangi bir ikinci kuantum durumu $\ket{\phi}$için bunu ifade eder.

$$ \begin{ \begin{align}U \left[ \frac{{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right] \ket{{0}& =\frac{1}{\sqrt{2}} U\ket{\phi}\ket{{0} + \frac{1}{\sqrt{{2}} U\ket{\psi}\ket{0}\\& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{\phi}\ket{\phi} + \ket{\psi}\ket{\psi}\right) \\& \ne\left( \frac{{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right) \otimes\left( \frac{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right). \end{align} $$

Bu, Kopyalama Yok Teoreminin arkasındaki temel sezgiyi sağlar: Bilinmeyen bir kuantum durumunu kopyalayan tüm cihazlar, kopyalanan durumların en az bazılarında hatalara neden olmalıdır. Kopyalayıcının giriş durumu üzerinde doğrusal olarak hareket ettiğinin temel varsayımı yardımcı kubitlerin eklenmesi ve ölçülmesi yoluyla ihlal edilebilir, ancak bu etkileşimler ölçüm istatistikleri aracılığıyla sistemle ilgili bilgileri de sızdırır ve bu gibi durumlarda tam kopyalamayı önler.

Kopyalama Yok Teorem'i kuantum bilişimini nitel anlamak için önemlidir çünkü kuantum durumlarını ucuz bir şekilde klonlayabilirseniz kuantum durumlarından öğrenmeniz için size neredeyse sihirli bir yetenek verilir. Heisenberg'ün alaycı belirsizlik ilkesini ihlal edebilirsiniz. Alternatif olarak, karmaşık bir kuantum dağıtımından tek bir örnek almak ve tek bir örnekten bu dağıtım hakkında öğrenebileceğiniz her şeyi öğrenmek için en uygun kopyalayıcıyı kullanabilirsiniz. Bu, yazı tura atıp kafaları gözlemlemeniz ve ardından bir arkadaşınıza sonucun &yanıt vermelerini söylemeniz gibi olur; Ah bu madeni paranın dağılımı, $p=0.512643\ldots$ile Bernoulli olmalıdır!&alıntı; Bir bilgi parçası (kafa sonucu) yalnızca önemli bir önceki bilgi olmadan dağıtımı kodlamak için gereken çok sayıda bilgiyi sağlayamadığı için bu tür bir ifade gereksiz olacaktır. Benzer şekilde, ön bilgi olmadan, tıpkı $p$bilmeden bu tür madeni paraların bir topluluğunu hazırlayamayacağınız gibi, bir kuantum durumunu da mükemmel bir şekilde kopyalayamazsınız.

Kuantum bilişiminde bilgiler ücretsiz değildir. Ölçülen her kubit tek bir bilgi verir ve No-Cloning Teorem, sistem hakkında edinilen bilgilerle buna çağrılan rahatsızlık arasındaki temel dengeyi aşabilmek için kötüye kullanılabilecek bir arka kapı olmadığını gösterir.

İlgili içerik

• T kapıları ve T fabrikaları
• Kuantum devreleri
• Kuantum kahinleri
• Grover algoritması