チャブーンです。
この件ですが、「手っ取り早く変更」の定義が正直わからないのですが、ふつうは
ネットワーク インターフェイス → DNS サーバー → カスタム
だけで大丈夫でしょう。上記はAzure VM単位での設定になりますので、間違いがないでしょう。で、Azure VMのIPアドレスはDHCP割り当てになってますので、VMの再起動は基本的に必要です(IPスタックの再起動が必要だがWindowsにはこの機能はないため)。カスタムDNS設定については、MSで情報提供してますので、以下が参考になると思います。
カスタム DNS サーバー よくあるお問い合わせ - FAQ | Japan Azure IaaS Core Support Blog (jpaztech.github.io)