Vektor dan matriks dalam komputasi kuantum

Beberapa keakraban dengan aljabar linier sangat penting untuk memahami komputasi kuantum. Artikel ini memperkenalkan konsep dasar aljabar linier dan cara bekerja dengan vektor dan matriks dalam komputasi kuantum.

Vektor

Vektor kolom, atau vektor untuk dimensi pendek, $v$ (atau ukuran) $n$ adalah kumpulan $angka $kompleks n$ (v_1,v_2,\ldots,v_n)$ yang disusun sebagai kolom:

$$v =\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix}$$

Norma vektor $v$ didefinisikan sebagai $\sqrt{\sum_i |v_i|^2}$. Vektor disebut vektor unit jika normanya adalah $1$.

Penggambaran vektor kolom v$ adalah vektor $baris yang ditandai sebagai $v^\dagger$ dan didefinisikan sebagai transpose $konjugasi v$. Untuk vektor $kolom v$ dimensi $n$, adjoint adalah vektor baris dimensi $1 \times n$:

$$\begin{bmatrix}v_1 \ \vdots \ v_n \end{bmatrix}^\dagger=\begin{bmatrix}v_1^* & \cdots& v_n^* \end{bmatrix}$$

di mana $v_i^*$ menunjukkan konjugasi $v_i$ yang kompleks.

Menggunakan aljabar linier, status qubit $\psi=\ket{0} + b \ket{1}$ digambarkan sebagai vektor status kuantum $\begin{bmatrix}\end{bmatrix}$\ b , di mana $||^2 + |b|^2 = 1$. Untuk informasi selengkapnya, lihat Qubit.

Produk skalar

Dua vektor dapat dikalikan bersama-sama melalui produk skalar, juga dikenal sebagai produk titik atau produk dalam. Seperti namanya, hasil dari produk skalar dari dua vektor adalah skalar. Produk skalar memberikan proyeksi satu vektor ke vektor lain dan digunakan untuk mengekspresikan satu vektor sebagai jumlah vektor lain yang lebih sederhana. Produk skalar antara dua vektor $kolom u$ dan $v$ ditandai sebagai $\left\langle u, v\right\rangle= u^\dagger v $ dan didefinisikan sebagai

$$\left\langleu, v\right\rangle= u^\dagger v=\begin{bmatrix}u_1^* & \cdots&Amp; u_n^* \end{bmatrix}v_1 \vdots\\ v_n=\end{bmatrix}u_1^* v_1 + + \cdots u_n^* v_n.\\\begin{bmatrix} $$

Dengan produk skalar, norma vektor $v$ dapat ditulis sebagai $\sqrt{\langle v, v\rangle}$.

Anda dapat mengalikan vektor dengan angka $a$ untuk membentuk vektor baru yang entrinya dikalikan dengan$.$ Anda juga dapat menambahkan dua vektor $u$ dan $v$ untuk membentuk vektor baru yang entrinya adalah jumlah entri $u$ dan $v$. Operasi ini adalah sebagai berikut:

$$ au+bv =\begin{bmatrix} au_1+bv_1\\ au_2+bv_2\\ \vdots\\ au_n+bv_n \end{bmatrix}$$

Matriks

Matriks ukuran $m \times n$ adalah kumpulan $angka kompleks m\cdot n$ yang disusun dalam $baris m$ dan $kolom n$ seperti yang ditunjukkan di bawah ini:

$$M =\begin{bmatrix} M_{11} M_{12}\cdots M_{1n}\\ M_{{21} M_{22}\cdots M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1} M_{m2}\cdots M_{mn}\\\end{bmatrix}$$

Operasi kuantum diwakili oleh matriks kuadrat, yaitu, jumlah baris dan kolom sama. Misalnya, operasi qubit tunggal diwakili oleh $2 \times 2$ matriks, seperti operasi Pauli $X$

$$X =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Seperti halnya vektor, Anda dapat mengalikan matriks dengan angka $c$ untuk mendapatkan matriks baru di mana setiap entri dikalikan dengan $c$, dan dua matriks dengan ukuran yang sama dapat ditambahkan untuk menghasilkan matriks baru yang entrinya adalah jumlah entri masing-masing dari dua matriks.

Perkalian matriks

Anda juga dapat mengalikan matriks $M$ dimensi $m \times n$ dan matriks $N$ yang berdimensi $n \times p$ untuk mendapatkan matriks baru $P$ yang berdimensi $m \times p$ sebagai berikut:

$$ \begin{ \begin{align} &\begin{bmatrix} M_{{11} M_{12}\cdots M_{1n}\\ M_{{21} M_{22}\cdots M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1} M_{m2}\cdots M_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} N_{{11} N_{{12}\cdots N_{1p}\\ N_{{21} N_{22}\cdots N_{2p}\\\ddots\\ N_{n1} N_{n2}\cdots N_{np}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} P_{{11} P_{12}\cdots P_{1p}\\ P_{21} P_{{22}\cdots P_{2p}\\\ddots\\ P_{m1} P_{m2}\cdots P_{mp}\end{bmatrix}\end{align}$$

di mana entri $P$ adalah $P_{ik}=\sum_j M_{ij}N_{jk}$. Misalnya, entri $P_ adalah produk skalar dari baris $pertama M$ dengan kolom $pertama N${11}$. Perhatikan bahwa karena vektor hanyalah kasus khusus dari matriks, definisi ini meluas ke perkalian matriks-vektor.

Jenis matriks khusus

Satu matriks persegi khusus adalah matriks identitas, dilambangkan $\mathbb{\mathbb{I}$, yang memiliki semua elemen diagonalnya sama dengan $1$ dan elemen yang tersisa sama dengan $0$:

$\mathbb{ \mathbb{I}=\begin{bmatrix} 1 0 \cdots 0\\ 0 1 \cdots 0\\\ddots\\ 0 \cdots 1 \end{bmatrix}.$

Untuk matriks persegi $A$, matriks $B$ adalah kebalikannya jika $AB = BA =\mathbb{\mathbb{I}$. Jika matriks $A$ memiliki inversi, matriks terbalik unik dan ditulis sebagai $A^{-1}$.

Untuk matriks $M$, transpose berdampingan atau konjugat $M$ adalah matriks $N$ sedemikian rupa sehingga $N_{ij}= M_{ji}^*$. Adjoint M $$ ditandai $M^\dagger$.

Matriks $U$ adalah kesatuan jika $UU ^\dagger= U^\dagger U =\mathbb{I}$ atau setara, $U^{{-1}=U^\dagger$. Salah satu properti penting dari matriks kesatuan adalah bahwa mereka mempertahankan norma vektor. Hal ini terjadi karena

$\langle v,v \rangle=v^{\dagger} v = v^{\dagger} U^{{-1} U v = v^{\dagger} U^{\dagger} U v =\langle U v, U v\rangle.$

Matriks M disebut Hermitian jika $M=M^\dagger$.$$

Dalam komputasi kuantum, pada dasarnya hanya ada dua matriks yang Anda temui: Hermitian dan unitary.

Produk Tensor

Operasi penting lainnya adalah produk tensor, juga disebut produk langsung matriks atau produk Kronecker.

Pertimbangkan dua vektor $v=\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ dan $u =\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$. Produk tensor mereka ditunjukkan sebagai $v \otimes u$ dan menghasilkan matriks blok.

$$ \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} b \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a c \\ a d \\ b c \\ b d \end{bmatrix}$$

Produk tensor digunakan untuk mewakili status gabungan dari beberapa qubit. Kekuatan nyata komputasi kuantum berasal dari memanfaatkan beberapa qubit untuk melakukan komputasi. Untuk informasi selengkapnya, lihat Operasi pada beberapa qubit.

Konten terkait

• Qubit
• Beberapa qubit
• Notasi Dirac
• Pengukuran Pauli